關於數學的新發現(?)

關於數學的新發現(?)

緣起：

就是有一次數學段考的題目：
(話說從這篇開始終於會用 $Latex$ 啦~)

求 $(x+1)^8$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式？

當下沒有多想，就直接開始做了

$(x+1)^8$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式
$=(x^2+2x+1)^4$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式
$=((x^2+2x+1)-(x^2+x-1))^4$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式
$=(x+2)^4$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式
$=(x^2+4x+4)^2$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式
$=((x^2+4x+4)-(x^2+x-1))^2$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式
$=(3x+5)^2$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式
$=(9x^2+30x+25)$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式
$=((9x^2+30x+25)-9(x^2+x-1))$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式
$=(21x+34)$

考完試之後才發現：$(21x+34)$......該不會是費式數列吧！
急忙多試了幾個不同的數據，都是相同的結果耶！

$(x+1)^1$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式 $=(x+1)$
$(x+1)^2$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式 $=(x+2)$
$(x+1)^3$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式 $=(2x+3)$
$(x+1)^4$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式 $=(3x+5)$
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所以，我可以猜想：
$(x+1)^n$ 除以 $(x^2+x-1)$ 的餘式 $=(F_nx+F_{n+1})$

看到這裡，大家下一步想的就是：要怎麼證明？

わたし、気になります！(我很好奇！)

恩...問倒我了，我也不知道.......

不過大致的思考方向是：

1.

除式 $(x^2+x-1)$
如果寫成方程式就是$(x^2+x-1)=0$
根據公式解：
$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$
可得：
$x = {-1 \pm \sqrt{5} \over 2}$

而它跟費式數列的關係在於費式數列的公式解：

$F_n=\dfrac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left[\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$

看起來似乎有點像，對吧！

2.

被除式$(x+1)^n$
可以用二項式定理展開得

$\sum_{i=0}^n{C_i^nx^{n-i}}$


可是我就只有想到這樣而已QQ
求各位數論大神解釋！

本人的分享到此結束

若有更好的想法或建議，請在留言區留言喔！

P.S 後來問了Emilia 大大，然後她就秒殺了這題...，她實在太強了
解法在這：https://emiliatancoding.blogspot.com/2020/01/pi.html