帕斯卡三角形(Pascal's triangle)

帕斯卡三角形(Pascal's triangle)(1)

據說帕斯卡三角形是高中數學的重點之一,現在我們來探究它的秘密吧!

1.帕斯卡三角形除了最左邊和最右邊的那一項,都是左上角的那一項和右上角的那一項的和

這應該是大家學帕斯卡三角形第一個觀察到的性質

2.帕斯卡三角形的第N行第M項的值為C(N-1,M-1)

這個性質和性質1一樣都是容易觀察到的性質

它也被大量運用在程式設計上,例如下面這個算出C(n,m)的C++函式:

1. int C(int m,int n){
2.     int re;
3.     if((n==0)||(n==m)){
4.         re=1;
5.     }else{
6.         re=C(m-1,n)+C(m-1,n-1);
7.     }
8.     return re;
9. }

這個函式是綜合性質1和性質2得到的結果

利用遞迴算出C(n,m)的答案

高中的大重點:二項式定理也可以透過此性質輕鬆計算

二項式定理:

(x+y)^n=

C(n,0)x^(n-0)*y^0

+C(n,1)x^(n-1)*y^1

+C(n,2)x^(n-2)*y^2

.

.

.

+C(n,n-1)x^1*y^(n-1)

+C(n,n)x^0*y^n

exp:

(x+y)^0=1---------------------------------->係數:1

(x+y)^1=x+y------------------------------->係數:1 1

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2------------------->係數:1 2 1

(x+y)^3=x^3+3yx^2+3xy^2+y^3-->係數:1 3 3 1

.

.

.

發現了嗎?係數就是帕斯卡三角形!

練習題:
https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e102

485 - Pascal's Triangle of Death

3.帕斯卡三角形第n行的總和為2^(n-1)

可以由性質1發現:

                   1

            1           1

     1         1+1          1

1    1+(1+1)  1+(1+1)    1

下一列,每個數字出現在加法運算的次數是兩次

練習題:

https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d817


以後會再公布第二篇喔

如果有更好的想法或建議,請在留言區留言